Ejercicios

Actividades:

1 Clasifica los números:

2Representa en la recta: 

3 Representa en la recta real los números que verifican las siguientes relaciones:

|x| < 1                |x| ≤ 1              |x| > 1              |x| ≥ 1

4Calcula los valores de las siguientes potencias:

5 Halla las sumas:

6 Realiza las operaciones:

7 Opera:

8Efectúa:

9Calcula:

10 Racionalizar

Números Irracionales famosos

Hay tres números irracionales cuyas aplicaciones, tanto en matemáticas como en otras disciplinas, son tan numerosas e importantes que podríamos denominarlos como los irracionales más famosos. Son los números p (pi),e, f (fi), llamados número pi, número e y número de oro, respectivamente. Dos de ellos, p y f, ya eran conocidos por los griegos, varios siglos antes de Cristo; el número e es ampliamente utilizado desde el siglo XVIII.

Desde antigüedades muy remotas se sabe que en todas las circunferencias la relación entre su longitud y su diámetro da siempre el mismo resultado; ese resultado se ha venido designando con la letra griega p, que es la inicial de la palabra griega periferia (periferia). El valor de p ha sido una preocupación constante entre los matemáticos desde el siglo III antes de Cristo; durante muchos siglos se creyó que p era igual a alguna fracción de dos enteros y hubo muchos intentos por encontrarla, pero sólo se obtuvieron aproximaciones notables, tales como p = 22/7 = 3,1428... (Arquímedes, siglo III a.C.) p = 377/120 = 3,14166..., (Ptolomeo, siglo II d.C.) p = 355/113 = 3,141592.., (Tsu Ch'ung-Chi, siglo V, dC) Quizá el caso más llamativo sea el del inglés William Shanks, que dedicó 20 años de su vida a la obtención de cifras decimales de p. A finales del siglo XIX, dio 707 decimales de p, pero, en 1945, se descubrió que había cometido un error en el decimal 528, y a partir de ahí los demás eran incorrectos.
En 1767 el matemático Johann Lambert demostró que p no podía expresarse en forma de fracción, es decir, que p era irracional, por lo que todos los esfuerzos se centraron ya en conseguir fórmulas cada vez mejores para dar buenas aproximaciones de p. De hecho algunas fórmulas ya habían sido obtenidas antes de demostrar la irracionalidad de p. Cualquier número obtenido después de un número finito de pasos a partir de enteros, usando sólo con ellos las operaciones suma, resta, multiplicación, división y radicación, se llama número algebraico (Dicho de otro modo, los números algebraicos son aquellos que son solución de alguna ecuación polinómica de coeficientes enteros.). Euler, en el siglo XVII, llamó trascendentes a los números que no eran algebraicos, es decir,trascendentes porque trascienden más allá de las operaciones habituales del álgebra. Hasta el siglo XIX no se conoció el primer número trascendente, y fue a finales de es mismo siglo, en 1882, cuando Lindemann demostró que p es trascendente. El descubrimiento de Lindemann permitió resolver de paso uno de los tres problemas clásicos de la antigüedad, el de la cuadratura del círculo; al ser p trascendente, la cuadratura del círculo era imposible. p aparece en muchas cuestiones que nada tienen que ver con circunferencias. Por ejemplo, Imagina que tomamos al azar dos números en la serie natural (1, 2, 3, 4, ...). ¿Te imaginas cuántas posibilidades tenemos de que los números tomados no tengan ningún factor común? La respuesta es sorprendente (y difícil de obtener): En el 6/p% = 1,91% de los casos habremos cogido dos números primos entre sí (o sea, sin ningún factor común).. Imagina que tomamos al azar dos números decimales positivos menores que 1. ¿Te imaginas cuánto vale la probabilidad de que esos dos números junto con el número 1 puedan ser los lados de un triángulo obtusángulo?. La respuesta vuelve a ser sorprendente: Es (p-2)/4=0'2878, luego eso será posible en el 28'78% de los casos. Una anécdota curiosa sobre el número p. Ocurrió en el año 1897 en Indiana, EE.UU., y el protagonista fue un médico llamado Goodwin, quien creyó haber realizado un descubrimiento sobre la relación entre el círculo y la circunferencia, lo que implicaba un impresionante resultado acerca de p. Llevó el caso al terreno político pidiendo a su representante en la Asamblea General de Indiana que presentara como proposición de Ley local el siguiente texto: "La Asamblea General del estado de Indiana decreta que se ha descubierto que el área del círculo es igual al cuadrado que tiene el lado de longitud igual al cuadrante de la circunferencia". Es inmediato deducir de ello que p=4. La proposición se presentó y pasó la aprobación de un primer comité, poniéndose con ello en marcha un procedimiento para ser aprobada por el pleno del Senado, con lo que habría adquirido el rango de ley. Afortunadamente para "los padres de las leyes", fue retirada en el último momento, con lo que se evitó caer en un ridículo que habría adquirido el rango de histórico.

El número e es un número irracional famoso, y es uno de los números más importantes en matemáticas. Las primeras cifras son: 2,7182818284590452353602874713527 (y sigue...) Se lo suele llamar el número de Euler por Leonhard Euler e es la base de los logaritmos naturales (inventados por John Napier). Por otra parte los logaritmos comunes tienen base 10. Calcularlo El valor de (1 + 1/n)n se aproxima a e cuanto más grande es n:                      n (1 + 1/n)n 1 2,00000 2 2,25000 5 2,48832 10 2,59374 100 2,70481 1.000 2,71692 10.000 2,71815 100.000 2,71827 El valor de e también es igual a to 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + 1/6! + 1/7! + ... (etc) (Nota: "!" significa factorial) Los primeros términos suman: 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120 = 2,718055556 Recordando Para recordar el valor de e (hasta 10 cifras) apréndete esta frase (¡cuenta las letras!): El trabajo y esfuerzo de recordar e revuelve mi estómago O puedes aprenderte la curiosa pauta de que después del "2,7" el número "1828" aparece DOS VECES: 2,7 1828 1828 Y después de eso vienen los ángulos de un triángulo rectángulo isósceles (dos iguales) que son 45°, 90°, 45°: 2,7 1828 1828 45 90 45 (¡una manera instantánea de parecer muy listo!) EL NÚMERO DE ORO Te presentamos a continuación una cifra especialmente interesante y que podemos observar en múltiples objetos de nuestra vida cotidiana: el número de oro (también conocido por número divino, número áureo, divina proporción,…).  Se trata de un número irracional que se suele representar por: La elección de la letra griega phi (nuestra f), denotada φ, se debe a la primera sílaba del nombre del arquitecto griego Fidias, que fue quién diseñó el Partenón y, te preguntarás, ¿qué tiene que ver semejante número con dicha construcción? La respuesta pasa por introducir los rectángulos áureos, que son rectángulos cuyo lado de mayor longitud es el resultado de multiplicar el de menor por 1’618. A priori, te parecerá un rectángulo de lo más normal, pero, ¿y si te dijésemos que está tan presente que incluso lo llevas en la cartera? Son rectángulos áureos: las tarjetas de crédito, los DNI,… Realicemos la siguiente actividad: consideremos dos tarjetas de crédito cualesquiera y coloquemos la primera en posición horizontal, y, la otra, justo a su derecha en posición vertical y, de tal forma, que la base de los rectángulos de ambas tarjetas formen línea recta; si trazamos la diagonal de la tarjeta horizontal y la prolongamos observamos como coincide exactamente con el vértice superior derecho de la tarjeta vertical.  Esta propiedad es exclusiva de los rectángulos áureos, así que puedes realizar el siguiente experimento con todos los objetos que desees y te sorprenderás por su enorme difusión: marcos de ventanas, cajetillas de tabaco, muchos libros en edición de bolsillo,… ¿Casualidad? ó ¿será que está proporción es especialmente agradable a la vista? … ¿Sabías que incluso la fachada del Partenón se puede descomponer en rectángulos áureos? ó ¿qué incluso estos aparecen en el rostro de la Gioconda?... Para ver estos y otros múltiples ejemplos, así como la forma de obtener el número de oro a partir de la sucesión de Fibonacci (secuencia infinita de números naturales que comienza con 0 y 1, y,  dónde el resto se consiguen sumando los dos anteriores), os recomendamos el siguiente vídeo:

El número f, llamado número de oro, es una de las dos soluciones de la ecuación X ² = 1-X.

Propiedades de los números reales

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES

Para todo número real  a, b  y  c:

Propiedad Conmutativa:  a + b = b + a

                                            a · b = b · a

Ejemplos:  5 + 3 = 3 + 5

                  2 x 4 = 4 x 2

Propiedad Asociativa: a + (b + c) = (a + b) + c

                                         a · (b · c) = (a · b) · c

Ejemplos: 2 + (3 + 4) = (2 + 3 ) + 4

                 5 x (1 x 7) =  (5 x 1) x 7

Elemento Identidad de la Suma:  a + 0 = a

Ejemplos:  8 + 0 = 8;  -4 + 0 = -4

Elemento Identidad de la Multiplicación:  a · 1 = a

Ejemplos:  9 x 1 = 9;  -3 x 1 = -3

Inverso Aditivo:  a + (-a) = 0

Ejemplo:  6 + (-6) = 0

Inverso Multiplicativo:  

Ejemplos:  

Propiedad Distributiva:  a · (b + c) = a · b + a · c

Ejemplo:  5 · (3 + 4) = 5 · 3  +  5 · 4

Números Reales

Conjuntos Numéricos y Propiedades

Los números naturales son los números que utilizamos para contar, estos son: {1,2,3,4,5,6,7,8, … }.  Los puntos suspensivos indican que los números continúan de esa forma, sin terminar nunca. 

Si sumamos dos números naturales obtenemos otro número natural, por ejemplo: 8 + 5 = 13.  Pero si restamos 5 – 5 , necesitamos otro número que represente el resultado.  Ese número es cero.  Entonces tenemos otro conjunto numérico que en adición a incluir los números naturales incluye el cero.  Este conjunto es el conjunto de los números cardinales  {0,1,2,3,4,5,6,7,8,…}.

En el diario vivir se escuchan expresiones como: “ 10 grado bajo cero”, 647 en débito”, “8 pies bajo el nivel del mar”.  Estas tres expresiones se refieren a números menores que cero.  Con estas situaciones surgen los enteros negativos.  Los enteros negativos, el cero y los números naturales (también conocidos por enteros positivos) forman el conjunto de los números enteros, estos son {…,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…}.

Si sumamos, restamos y multiplicamos enteros siempre se obtiene otro número entero.  Pero si dividimos dos enteros no siempre obtendremos otro entero.  Por ejemplo, 16 ÷ 2 = 8  pero en 3 ÷ 4 el resultado no es un entero.  Existen muchas divisiones donde el resultado no es un entero.  Esta situación nos lleva a otro conjunto numérico conocido por los números racionales.  Los números racionales son todos aquellos números que se pueden escribir de la forma a/b   donde b es diferente de cero.  Los números naturales, los cardinales y los enteros son números racionales.  Otros ejemplos de números racionales son:; 2/3; 5/8; 7/9

Existe otro conjunto de números que que son los números irracionales, estos son números que no son racionales, esto es, que no se pueden expresar de la forma a/b    donde b es diferente de cero.  Ejemplos: √2 = 1.414213562… es un número irracional  y  π = 3.14157…

Luego el conjunto de números que consiste de todos los números racionales y todos los números irracionales se conoce como el conjunto de los números reales.

El siguiente diagrama ilustra los diferentes conjuntos numéricos que estaremos utilizando en este curso.